Tài liệu ôn thi ĐH CĐ môn Toán

ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3
(Sưu tầm. Một số kí tự có thể không thể hiện đúng, đề nghị xem kĩ.)

Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d với a  0 có đồ thị là (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b
1) y” = 0  x = (a  0 )
x = là hoành độ điểm uốn. Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

2) Để vẽ đồ thị 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
 hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngoài ra ta còn có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (, x1)
+ hàm số tăng trên (x2, +)
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
 hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (, x1)
+ hàm số giảm trên (x2, +)
+ hàm số tăng trên (x1, x2)

3) Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0;
thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x + q

4) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt


5) Giả sử a > 0 ta có :
i) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > 

ii) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < 

Tương tự khi a < 0 .
6) Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M  (C).
Nếu M  I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn.

7) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y(x0) = 0 (x0 là hoành độ điểm uốn)

Biện luận số nghiệm của phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a  0) khi x =  là 1 nghiệm của (1).
Nếu x =  là 1 nghiệm của (1), ta có
ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b1x + c1)
nghiệm của (1) là x =  với nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có các trường hợp sau:
i) nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = 
ii) nếu (2) có nghiệm kép x =  thì (1) có duy nhất nghiệm x = 
iii) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt   thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
iv) nếu (2) có 1 nghiệm x =  và 1 nghiệm khác  thì (1) có 2 nghiệm.
v) nếu (2) có nghiệm kép   thì (1) có 2 nghiệm
BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3
Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là
y = x3 + mx2  m và y = kx + k + 1.
(I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác A , B . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).
2) Gọi  là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E   với (C).
3) Tìm E   để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.
5) Tìm M  (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).
(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau.
7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.
Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghịch biến trong (0, +).
10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phương trình tiếp tuyến với (C¬m) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

BÀI GIẢI

PHẦN I : m = 3
Khảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm)

1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x  hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k1 = – 3n2 + 6n  (0, 3] (vì n  (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k2 = (với 0 < k1  3). Hoành độ của tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M là nghiệm của – 3x2 + 6x = (= k2)  3x2 – 6x = 0. Phương trình này có a.c < 0,  k1  (0, 3] nên có 2 nghiệm phân biệt,  k1  (0, 3]. Vậy trên (C) luôn có 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M.

2) E (e, 1)  . Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tiếp xúc (C)  hệ có nghiệm.
 Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1)
 – x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
 (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
 x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex
 x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2)
(2) có  = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) có nghiệm x = 2  8 – 2(3e – 1) + 2 = 0  e = 2
Ta có  > 0  e < – 1 hay e > .
Biện luận :
i) Nếu e < – 1 hay < e < 2 hay e > 2
 (1) có 3 nghiệm phân biệt  có 3 tiếp tuyến.
ii) Nếu e = – 1 hay e = hay e = 2
 (1) có 2 nghiệm  có 2 tiếp tuyến.
iii) Nếu – 1 < e <  (1) có 1 nghiệm  có 1 tiếp tuyến.
Nhận xét : Từ đồ thị, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1) chắc chắn có nghiệm x = 2,  e.
3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1),  e và đường x =  không là tiếp tuyến nên yêu cầu bài toán.
 (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1



 e = . Vậy E
4) Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của :
y' = p  3x2 – 6x + p = 0 (3)
Ta có ' = 9 – 3p > 0  p < 3
Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p.
Gọi x3, x4 là nghiệm của (3).
Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm. Ta có :


Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M3M4.
5) Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a  0) ta dễ dàng chứng minh được rằng :
 M  (C), ta có :
i) Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Cách 2 : Gọi M(x0, y0)  (C). Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :
y = k(x – x0) (D)
Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
( 5 )





Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0)  (C)

Suy ra, y0 = 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn).
Nhận xét : vì x0 là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép là x0
Phần II : Tham số m thay đổi. y' = – 3x2 + 2mx
6) (Cm) qua (x, y), m
 y + x3 = m (x2 – 1) , m

Vậy (Cm) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1).
Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần lượt là :
a1 = y'(1) = – 3 + 2m và a2 = y'(–1) = –3 – 2m.
2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau.
 a1.a2 = – 1  9 – 4m2 = – 1  m = .
7) Hàm có cực trị  y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
 3x2 = 2mx có 2 nghiệm phân biệt.
 x = 0 và x = là 2 nghiệm phân biệt.
 m  0. Khi đó, ta có :

và phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là :
(với m  0)
Khi m  0, gọi x1, x2 là nghiệm của y' = 0, ta có :
x1.x2 = 0 và x1 + x2 =
 y(x1).y(x2) =
= =
Với m  0, ta có y(x1).y(x2) < 0


Vậy (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.


Nhận xét :
i) Khi thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương.
ii) Khi thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.
9) a) Hàm đồng biến trên (1,2)  – 3x2 + 2mx  0, x  (1,2). Nếu m  0 ta có hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và .
i) Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên . Vậy loại trường hợp m < 0
ii) Nếu m = 0  hàm luôn nghịch biến (loại).

iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên
Do đó, ycbt  m > 0 và

b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0.
Khi m  0 ta có hàm số nghịch biến trên và hàm số cũng nghịch biến trên [0, +).
Vậy để hàm nghịch biến trên [0, +) thì m  0.
Ghi chú : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng hơn.
10) y" = – 6x + 2m , y" = 0  x =
(Cm) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau.
 y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành.


11) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Dk) là
– x3 + mx2 – m = kx + k + 1
 m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3
 x + 1 = 0  m(x – 1) = k + 1 – x + x2
 x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11)
a) Do đó, (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
 (11) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1

 (*)
b) Vì (Dk) qua điểm K(–1,1)  (Cm) nên ta có :
(Dk) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau.
 (Dk) qua điểm uốn của (Cm)

 (**)
Vậy ycbt  k thỏa (*) và (**).
12) Phương trình tiếp tuyến với (Cm) đi qua (–1,1) có dạng :
y = k(x + 1) + 1 (Dk)
Vậy, phương trình hoành độ tiếp điểm của (Dk) và (Cm) là :
– x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12)
 m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3
 x + 1 = 0  m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2
 x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0 (13)
 x = – 1 
y' (–1) = – 2m – 3
= (m2 – 2m – 3)
Vậy phương trình của 2 tiếp tuyến qua (–1, 1) là :
y = – (2m + 3)(x + 1) + 1
y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1
Nhận xét : Có 1 tiếp tuyến tại tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắc chắn có nghiệm kép là x = – 1 và phương trình (13) chắc chắn có nghiệm là x = – 1.
13) Các tiếp tuyến với (Cm) tại tiếp điểm của hoành độ x có hệ số góc là :
h = – 3x2 + 2mx
Ta có h đạt cực đại và là max khi (hoành độ điểm uốn)
Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

Nhận xét :
Ghi chú : Đối với hàm bậc 3
y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có :
i) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
ii) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.